Was ist eigentlich ein Bruch?

Stell dir eine Tafel Schokolade vor, die in gleich große Stücke geteilt ist. Ein Bruch sagt dir: wie viele Stücke gibt es insgesamt — und wie viele davon hast du?

Kleine Tricks, große Wirkung

Du musst nicht jede Aufgabe auswendig können. Mit ein paar Tricks kannst du die meisten Einmaleins-Aufgaben im Kopf herleiten.

Große Zahlen und Dezimalzahlen multiplizieren

Auch grosse Aufgaben lassen sich in kleine, bekannte Schritte zerlegen.

Grundformen kennenlernen

Jede Form hat eigene Merkmale - Anzahl der Seiten, Winkel, und ob Seiten gleich lang oder parallel sind. Tippe eine Form an!

Diagonalen berechnen

Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken. Man berechnet sie mit dem Satz des Pythagoras: die Diagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aus den beiden Seiten.

3D-Körper kennenlernen

Diese Formen sind nicht flach, sondern haben eine Tiefe - man kann sie anfassen und sie nehmen Raum ein. Tippe einen Körper an!

Was ist eine Parabel?

Eine Parabel ist die typische U-Form, die entsteht, wenn man eine quadratische Funktion wie y = x² zeichnet. Sie taucht überall auf: der Bogen eines geworfenen Balls, die Form einer Satellitenschüssel, die Kabel einer Hängebrücke.

Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse kreuzt (y = 0). Bei y = ax² + bx + c findest du sie mit der Mitternachtsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a).

Symmetrie

Eine Form ist symmetrisch, wenn man sie so falten oder drehen kann, dass beide Teile genau übereinanderpassen. Es gibt zwei wichtige Arten.

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Was ist Wahrscheinlichkeit?

Wahrscheinlichkeit sagt aus, wie sicher oder unsicher etwas ist - von 0% (kann unmöglich passieren) bis 100% (passiert ganz sicher). Alles dazwischen ist irgendwie "vielleicht".

Das Baumdiagramm

Wenn mehrere Zufallsschritte hintereinander passieren (z.B. zweimal eine Münze werfen), hilft ein Baumdiagramm. Auf jedem Ast steht eine Wahrscheinlichkeit - für einen ganzen Pfad multiplizierst du die Äste entlang des Weges.

Das Gegenereignis

Manchmal ist es einfacher, die Gegenwahrscheinlichkeit auszurechnen: P(nicht A) = 100% − P(A). Alle Möglichkeiten zusammen ergeben immer 100%.

Der Erwartungswert

Der Erwartungswert sagt, was du im Durchschnitt gewinnst (oder verlierst), wenn du ein Zufallsspiel sehr oft wiederholst. Man multipliziert jeden möglichen Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiert alles.

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Das Koordinatensystem

Jeder Punkt hat zwei Zahlen: zuerst x (waagrecht), dann y (senkrecht). Der Punkt (3|2) heisst: 3 nach rechts, 2 nach oben. Der Startpunkt (0|0) heisst Ursprung.

Steigung aus zwei Punkten berechnen

Kennst du zwei Punkte auf der Geraden, findest du die Steigung so: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Das ist "wie viel hoch, geteilt durch wie viel rüber".

Parallele & senkrechte Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die GLEICHE Steigung haben (m₁ = m₂). Sie stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ergibt (m₁ × m₂ = −1).

Exponentialfunktionen

Bei y = a · b^x wächst (oder schrumpft) der Wert nicht gleichmässig wie bei einer Geraden, sondern immer schneller - typisch für Zinseszins, Bakterienwachstum oder radioaktiven Zerfall. a ist der Startwert (bei x=0), b ist der Wachstumsfaktor pro Schritt.

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Was ist ein Datensatz?

Ein Datensatz ist einfach eine Sammlung von Zahlen oder Werten zu etwas Gemessenem - z.B. die Noten einer Klassenarbeit, die Grösse aller Kinder in der Klasse, oder die Toranzahl in jedem Spiel einer Saison.

Der Median

Der Median ist der mittlere Wert, wenn du alle Zahlen der Grösse nach sortierst. Er lässt sich (anders als der Mittelwert) nicht von einem einzelnen Ausreisser verzerren.

Kreisdiagramm verstehen

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie sich ein Ganzes (100%) in Teile aufteilt - je grösser das Tortenstück, desto grösser der Anteil.

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Was ist eine Folge?

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, die nach einer festen Regel gebildet wird. Jede Zahl heisst Glied der Folge, a₁ ist das erste Glied, a₂ das zweite, usw. - allgemein aₙ für das n-te Glied.

Geometrische Folgen

Bei einer geometrischen Folge wird von einem Glied zum nächsten immer mit derselben Zahl q multipliziert. Formel: aₙ = a₁ · q^(n−1)

Die Summe einer arithmetischen Folge

Addierst du die ersten n Glieder einer arithmetischen Folge, erhältst du die Partialsumme Sₙ. Trick von Gauss: erstes + letztes Glied mal Anzahl, geteilt durch 2. Formel: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)

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Was ist eine Ableitung?

Die Ableitung f'(x) sagt dir die Steigung der Funktion an genau diesem Punkt - also wie schnell sich f(x) dort gerade ändert. Bei einer Geschwindigkeits-Funktion wäre die Ableitung z.B. die Beschleunigung.

Ableiten berechnen

Für f(x) = a·x² + b·x + c ist die Ableitung f'(x) = 2a·x + b (Potenz- und Summenregel zusammen). Der gelbe Punkt zeigt eine Tangente an einer wählbaren Stelle x₀ - ihre Steigung ist genau f'(x₀).

Was ist ein Integral?

Ein Integral berechnet die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse. Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens: die Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung wieder f(x) ergibt.

Die Fläche berechnen

Für f(x) = a·x² + b·x + c ist die Stammfunktion F(x) = a/3·x³ + b/2·x² + c·x. Die Fläche zwischen x₁ und x₂ ist F(x₂) − F(x₁).

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Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist ein Pfeil mit Richtung und Länge - im Gegensatz zu einem Punkt hat er keine feste Position. Man schreibt ihn als Spalte: v = (x, y). Ein Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, ein Verbindungsvektor von A nach B ist B − A (Zielpunkt minus Startpunkt).

Skalarmultiplikation

Multiplizierst du einen Vektor mit einer Zahl k (einem Skalar), werden beide Komponenten mit k multipliziert: k·(x,y) = (k·x, k·y). Der Vektor wird länger (|k|>1), kürzer (|k|<1) oder dreht sich um (k negativ) - die Richtung der Linie bleibt aber immer gleich.

Das Skalarprodukt & der Winkel

Das Skalarprodukt a·b = a₁·b₁ + a₂·b₂ ergibt eine einzelne Zahl (kein Vektor!). Damit berechnest du den Winkel zwischen zwei Vektoren: cos(α) = (a·b) ÷ (|a|·|b|). Ist a·b = 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander!

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